ざっくりと公式から解説が供給されるまでの足しです

ペル方程式

x²+ny²=mの形の方程式です以上 Z[√-n]とかを考えるとよいことが多いです

今回の問題

n²+(n+1)²=m² です変形して (2n+1)²-2 m²=-1

これはペル方程式なので頑張ると解けます頑張ります(wolframに投げると解いてくれる場合があるぞい)

これを満たすすべての (2n+1, m)について、2n+1 + m√2 = (1+√2)^2n-1 がいえます(言えるので具体的に言うと2n+1 - m√2 = (1-√2)^2n-1を言って掛け合わせますすべてがそうであるを言うのはちょっと難しいかも)

(1+√2)^2n-1=(1+√2) (3+2√2)^2(n-1) なので、(2n+1, m) $\mapsto$ (3(2n+1)+4m, 2(2n+1)+3m) とすることで次々と満たす組を作っていけますはじめは(7, 5)

存在することが保証されているのとmについて単調増加なので、mがX桁になった時に終わらせてしまえばいいです。

おわり